0 00
 |
√2 (karekök 2) rasyonel sayı mıdır? |
√2 (karekök 2) rasyonel sayı değildir. √2 irrasyonel bir sayıdır.
Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı olmak üzere, b sıfırdan farklı olmak ve a ile b aralarında asal olmak koşuluyla, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır.
Yani bir rasyonel sayı şu kurala uymak zorundadır:
√2 (karekök 2, İng: square root of 2) bu kuralı sağlayamadığı için rasyonel sayı değildir. √2, √3, √5, √7, √11 gibi sayılar irrasyonel sayılar kümesinin elemanıdır.
İspat
İspatı için aşağıdaki adımları izleyiniz:
p bir asal sayı olmak üzere, √p sayısı bir rasyonel sayı değildir.
√2'de olduğu gibi benzer adımlar kullanılarak √3, √5, √7, √11 gibi asal sayıların kareköklerinin rasyonel sayı olmadığı gösterilebilir.
Bu ispat şu teoreme dayanır:
Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı olmak üzere, b sıfırdan farklı olmak ve a ile b aralarında asal olmak koşuluyla, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır.
Yani bir rasyonel sayı şu kurala uymak zorundadır:
{a/b | a, b ϵ Z, EBOB(a, b) = 1 ve b ≠ 0 }
√2 (karekök 2, İng: square root of 2) bu kuralı sağlayamadığı için rasyonel sayı değildir. √2, √3, √5, √7, √11 gibi sayılar irrasyonel sayılar kümesinin elemanıdır.
İspat
İspatı için aşağıdaki adımları izleyiniz:
- √2'nin rasyonel bir sayı olduğu varsayılsın.
- a, b ϵ Z, EBOB(a, b) = 1 ve b ≠ 0 olmak üzere √2 = a/b şeklinde yazılabilir.
- Eşitlikte iki tarafın karesi alınırsa (√2)2 = (a/b)2 olur.
- 2 = a2/b2 olur.
- a2 = 2b2 ve b2 = a2/2 elde edilir.
- kϵZ, k bir tam sayı, olmak üzere a, 2k şeklinde yazılabildiği için a2 çift sayı olur.
- a2 çift sayı ise a da çift sayıdır.
- a çift sayı ise a2 = 4k2 olur.
- (5) adımda b2 = a2/2 olduğuna göre b2=2k2 olur.
- (6) ve (7) adımları (9)'da elde edilen b2 için uygulanırsa, b'nin çift sayı olduğu bulunur.
- (7) ve (10)'a göre a ve b çift sayı olduğuna göre a ve b aralarında asal olamazlar.
- (11) ile (1) çelişir, böylece (1) doğru değildir.
- (12) yanlış ise √2 rasyonel bir sayı değildir.
p bir asal sayı olmak üzere, √p sayısı bir rasyonel sayı değildir.
√2'de olduğu gibi benzer adımlar kullanılarak √3, √5, √7, √11 gibi asal sayıların kareköklerinin rasyonel sayı olmadığı gösterilebilir.
Bu ispat şu teoreme dayanır:
- p, m2'nin bir faktörü (böleni) ise, p, m'nin de bir faktörüdür. Yani p asal sayısı m2'yi tam bölüyorsa, m'yi de tam böler.
Bu alana not ekleyebilirsiniz.
Başka bir sorunuz mu var?
Yorumlar (1)
Katılıyor musun? 00
3kök 2 rasyonel sayı mıdır?
23.11.2023
