Kesişim işlemi
Kümelerde birleşim işlemi, K ve L gibi iki kümeyi oluşturan bütün elemanlarını göstermek için kullanılır.

Kümelerde birleşim işlemi sembolik mantıkta veya bağlacına benzediği gibi veya bağlacının özellikleri ile birleşme işleminin özellikleri de benzeşir.

Özellikleri
Birleşim işleminin özellikleri şunlardır:

• Tek kuvvet özelliği
• Etkisiz eleman
• Değişme özelliği
• Birleşme özelliği
• Alt küme ile birleşim
• Dağılma özelliği

Kümelerde kesişim işleminin özellikleri için tıklayınız.

Tek kuvvet özelliği
Bir kümenin kendisiyle birleşimi kendisine eşittir.
 

K∪K = K

Doğrulaması
K∪K = { k | k ϵ K ∨ k ϵ K  }
K∪K = K

Etkisiz eleman
Boş küme birleşme işleminin etkisiz elemanıdır. Bir kümenin boş küme ile birleşimi kendisine eşittir.
 

K∪∅ = K

Doğrulaması
K∪∅ = { k | k ϵ K ∨ k ϵ ∅  }
K∪∅ = K

Değişme özelliği
İki kümenin birleşiminde kümelerin yazılma sırasının bir önemi yoktur.
 

K∪L = L∪K

Doğrulaması
K∪L = { k | k ϵ K ∨ k ϵ L }
L∪K = { k | k ϵ L ∨ k ϵ K  }
K∪L = L∪K

Birleşme özelliği
Değişme özelliğinin bir uzantısı olarak, yalnızca birleşme işleminden oluşan bir küme ifadesinde parantez işaretinin yerinin değişmesi sonucu etkilemez.
 

(K∪L)∪M = K∪(L∪M) = K∪L∪M

Boş küme
K∪L = ∅ ise bu ancak ve ancak hem K hem de L'nin boş küme olmasını gerektirir.
 

K∪L = ∅ ⇔ K=∅ ∧ L=∅

Alt küme ile birleşim
K kümesi L kümesinin alt kümesi ise K ile L'nin birleşimi K'ya eşittir.
 

K ⊇ L ⇒ K∪L = K

Dağılma özelliği
Bir kümenin, iki kümenin kesişimi ile birleşimi; o kümenin kesişen kümelerle ayrı ayrı birleşiminin kesişimine eşittir. Buna birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine soldan dağılma özelliği denir.
 

K∪(L∩M) = (K∪L) ∩ (K∪M)

 

İspatı
K∪(L∩M) = { a | a ϵ K veya a ϵ (L∩M)  }
K∪(L∩M) = { a | a ϵ K veya (a ϵ L ve a ϵ M)  }
K∪(L∩M) = { a | (a ϵ K veya a ϵ M) ve (a ϵ K veya a ϵ M)  }
K∪(L∩M) = { a | a ϵ (K∪L) ∩ (K∪M)  }

Yukarıdaki ifadeye değişme özelliği uygulandığında, birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği doğrulanabilir.
 

(K∩L)∪M = (K∪M) ∩ (L∪M)